条件付き期待値
ある条件がわかったときの期待値を計算する
条件付き期待値
簡単に書くと
条件付き期待値 = 「ある条件がわかったときの期待値」。例えば、サイコロを振って「出た目が3以上」という情報を得たときに、その条件下での平均値がどうなるかを計算します。
詳しく書くと
条件付き期待値（Conditional Expectation）とは、ある事象Yが起きたという情報がわかった場合における、確率変数Xの期待値です。記号ではE[X|Y]と表します。新しい情報を得ると期待値も変わってくるのです。
公式：
サイコロで「3以上」という条件
公正なサイコロを振りました。出た目が「3以上」だとわかった場合、出目の条件付き期待値を計算します。
計算手順
結論: 条件なしの期待値は3.5ですが、「3以上」という条件がわかると条件付き期待値は4.5に上がります。
天気と売上
アイスクリーム店の1日の売上は天気に大きく影響します。「明日が晴れ」とわかったときの期待売上を計算します。
計算手順
結論: 全体の期待売上は69,700円ですが、「晴れ」という情報があると条件付き期待値は85,000円に上がります。
全期待値の法則
条件付き期待値には美しい性質があります。複数の条件に分けて計算した条件付き期待値を、その条件の確率で加重平均すると元の期待値になります。
公式：
重要なポイント
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条件付き期待値は新しい情報を反映 - 情報があると期待値が変わる
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条件付き確率を使う - P(X|Y)を使って計算
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全期待値の法則が成立 - 条件付き期待値の加重平均は元の期待値
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意思決定に有用 - 追加情報があるときの最適な判断ができる
練習問題
問題:
サイコロを振って「偶数」が出たという条件下で、出目の条件付き期待値を計算してください。
偶数は2, 4, 6の3つ P(X=2|偶数) = P(X=4|偶数) = P(X=6|偶数) = 1/3 E[X|偶数] = 2×(1/3) + 4×(1/3) + 6×(1/3) = 12/3 = 4
このレッスンのクイズに挑戦！
条件付き期待値の理解を深めるために、章末クイズに挑戦しましょう。
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