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宝くじの期待値

実例：日本の宝くじを数学的に分析する

宝くじは確率と期待値の現実的な例です。期待値から見ると、購入者は平均的に損をしています。これを理解することで、期待値の概念がいかに実生活で重要かが分かります。

日本の宝くじは他のギャンブルと比較して最も還元率が低く、数学的には最も不利な選択肢です。しかし多くの人が購入する理由には、心理学的な要因が関係しています。

日本の宝くじの仕組み

日本で一般的な「数字選択式宝くじ」の1つである「ナンバーズ4」を例に挙げます。

E[X] = 400{,}000 \times \frac{1}{10{,}000} + 100{,}000 \times \frac{6}{10{,}000} + 30{,}000 \times \frac{6}{10{,}000}

E[X] = 40 + 60 + 18 = 118\text{円}

結論: 200円のナンバーズ4を買った場合、期待値は118円です。つまり、平均的には1回買うたびに82円（200円 - 118円）の損失が期待されます。

宝くじの還元率は、投じた金額のうち、当選金として戻される割合です。

\text{還元率} = \frac{\text{期待値}}{\text{宝くじ1枚の価格}} \times 100\%

\text{還元率} = \frac{118}{200} \times 100\% = 59\%

ナンバーズ4の還元率は59%です。これは投じた金額の59%が当選金として戻され、残りの41%は宝くじの運営や公務員給与などに充てられるということです。

日本の主なギャンブルの還元率を比較します。

結論: 宝くじはすべてのギャンブルの中で最も還元率が低いです！他のどんなギャンブルよりも、客は平均的により多くお金を失うことになります。

問題:

300円の宝くじで、以下の場合の期待値と還元率を計算してください。 • 50万円が当たる確率：1/10,000 • 10万円が当たる確率：5/10,000 • 1万円が当たる確率：10/10,000

E[X] = 500,000×(1/10,000) + 100,000×(5/10,000) + 10,000×(10/10,000) E[X] = 50 + 50 + 10 = 110円還元率 = 110 / 300 × 100% = 36.67%

宝くじの期待値の理解を深めるために、章末クイズに挑戦しましょう。

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