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期待値とは何か

確率変数の長期的な平均値を理解する

期待値 = 「平均してどれくらいもらえるか」サイコロを何回も振ると、出目の平均は 3.5 に近づきます。これが「期待値」です。ゲームやギャンブルで「長期的に得するか損するか」を判断するのに使います。

期待値（Expected Value）とは、確率変数がとる値の加重平均です。各々の値がその確率によって重み付けされ、確率が高い値ほど期待値に大きく影響します。

公式：

E[X] = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)

例1: コイン投げ

表が出たら1,000円をもらい、裏が出たら0円のゲームを考えます。

表が出る確率: 0.5、賞金: 1,000円

裏が出る確率: 0.5、賞金: 0円

E[X] = 1{,}000 \times 0.5 + 0 \times 0.5 = 500\text{円}

結論: このゲームの期待値は500円です。つまり、このゲームを何度も繰り返すと、平均して1回につき500円の利益が期待できます。

公正なサイコロを振った場合、出目の期待値を計算します。

出目が1から6までのそれぞれの確率は 1/6

期待値 = 1×(1/6) + 2×(1/6) + 3×(1/6) + 4×(1/6) + 5×(1/6) + 6×(1/6)

E[X] = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5

結論: 長期的にサイコロを振り続けると、平均して3.5が出ることが期待されます。これは最も可能性の高い出目ではありませんが、すべての結果の加重平均です。

問題:

ゲーム「1/3の確率で100円、2/3の確率で0円」の期待値を計算してください。

E[X] = 100 × (1/3) + 0 × (2/3) = 33.33円

このゲームの期待値は約33.33円です。

期待値とは何かの理解を深めるために、章末クイズに挑戦しましょう。

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