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大数の法則

サンプルサイズが期待値の実現にどう影響するか

大数の法則は、試行回数が増えるほど実際の結果が期待値に近づくという確率論の基本定理です。これはカジノが必ず利益を上げる理由であり、短期的な運の重要性を説明しています。

サンプル平均が確率変数の期待値に確率収束する。試行回数が増えるほど、実際の平均結果が理論的な期待値から離れる可能性は減っていきます。

公式：

\lim_{n \to \infty} P\left(\left|\bar{X}_n - \mu\right| > \epsilon\right) = 0

コイン投げの例

コイン投げで表をX=1、裏をX=0とします。期待値は0.5です。

結論: 試行回数が増えるほど、実際の結果が期待値（50%）に近づきます。

カジノ経営者が大数の法則に頼っている理由を理解しましょう。

結論: 大数の法則により、実際の結果が期待値に収束するため、ハウスエッジは確率的な保証となります。

試行回数が増えると結果の変動（標準誤差）はどう変わるのか。

SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

標準誤差は標準偏差をnの平方根で割るため、試行回数nが増えるほど標準誤差は小さくなります。

問題:

期待値0.5（標準偏差0.5）のゲームで、100回プレイと10,000回プレイの標準誤差を計算してください。

100回: SE = 0.5 / √100 = 0.5 / 10 = 0.05 10,000回: SE = 0.5 / √10000 = 0.5 / 100 = 0.005 試行回数が100倍増えると、標準誤差は1/10になります。

大数の法則の理解を深めるために、章末クイズに挑戦しましょう。

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